Подогрейте молоко и воду до тёплой температуры, не доводя их до кипения.
К теплом молоку добавьте сливочное масло, соль, дрожжи и сахар. Введите яйцо. Постепенно влейте тёплую воду и постепенно всыпайте муку. Тесто должно быть слегка липким, не «забивайте» его мукой. Накройте и дайте тесту подняться.
Энергично обомните тесто и разделите его на четыре части, каждая из которых весит примерно 220 граммов.
Натрите сыр на крупной терке и тщательно перемешайте.
Раскатайте каждый кусочек теста до диаметра 25 см и посыпьте сыром. Сверните его в лодочку и запекайте 12–13 минут. В центр добавьте яйцо и верните в духовку ещё на 2–3 минуты.
Смажьте готовые хачапури сливочным маслом и добавьте оставшееся масло к сыру и яйцу.